Sự khác biệt giữa tích phân xác định và không xác định

Giải tích là một nhánh quan trọng của toán học, và sự khác biệt đóng một vai trò quan trọng trong tính toán. Quá trình nghịch đảo của sự khác biệt được gọi là tích hợp và nghịch đảo được gọi là tích phân, hay nói một cách đơn giản, nghịch đảo của sự khác biệt mang lại một tích phân. Dựa trên kết quả họ tạo ra các tích phân được chia thành hai lớp viz., Các tích phân xác định và không xác định.

Tích phân xác định

Tích phân xác định của f (x) là một số và biểu thị khu vực dưới đường cong f (x) từ x = a đến x = b.

Một tích phân xác định có giới hạn trên và dưới đối với các tích phân và nó được gọi là xác định bởi vì, ở cuối bài toán, chúng ta có một số - đó là một câu trả lời xác định.

Không xác định, không thể thiếu

Tích phân không xác định của f (x) là CHỨC NĂNG và trả lời câu hỏi, Hàm nào khi phân biệt cho f (x)?Giáo dục

Với tích phân không xác định, không có giới hạn trên và dưới đối với tích phân ở đây và những gì chúng ta sẽ nhận được là một câu trả lời vẫn còn xTrong đó và cũng sẽ có một hằng số (thường được ký hiệu là C) trong đó.

Tích phân không xác định thường đưa ra một giải pháp chung cho phương trình vi phân.

Tích phân không xác định là một dạng tích hợp chung và nó có thể được hiểu là tính chống đạo hàm của hàm được xem xét.

Giả sử sự khác biệt của chức năng F dẫn đến một chức năng khác f, và sự tích hợp của f cho tích phân. Một cách tượng trưng, ​​điều này được viết là

F (x) = ∫ƒ (x) dx

hoặc là

F = ∫ƒ dx

nơi cả hai F và ƒ là các chức năng của x, và F là khác biệt Ở dạng trên, nó được gọi là tích phân Reimann và hàm kết quả đi kèm với hằng số tùy ý.

Một tích phân không xác định thường tạo ra một họ các hàm; do đó, tích phân là không xác định.

Các tích phân và quá trình tích hợp là trung tâm của việc giải các phương trình vi phân. Tuy nhiên, không giống như các bước trong phân biệt, các bước trong tích hợp không phải lúc nào cũng tuân theo một thói quen rõ ràng và chuẩn. Đôi khi, chúng ta thấy rằng giải pháp không thể được thể hiện rõ ràng dưới dạng chức năng cơ bản. Trong trường hợp đó, giải pháp phân tích thường được đưa ra dưới dạng tích phân không xác định.

Định lý cơ bản của tính toán

Tích phân xác định và tích phân không xác định được liên kết bởi Định lý cơ bản của Tính toán như sau: Để tính a tích phân xác định, tìm không xác định, không thể thiếu (còn được gọi là chống đạo hàm) của hàm và đánh giá tại các điểm cuối x = a và x = b.

Sự khác biệt giữa các tích phân xác định và không xác định sẽ được thể hiện rõ khi chúng ta đánh giá các tích phân cho cùng một hàm.

Hãy xem xét các tích phân sau:

ĐỒNG Ý. Hãy làm cả hai và thấy sự khác biệt.

Để tích hợp, chúng ta cần thêm một vào chỉ mục dẫn chúng ta đến biểu thức sau:

Tại thời điểm này C chỉ đơn thuần là một hằng số đối với chúng tôi. Cần thêm thông tin trong bài toán để xác định giá trị chính xác của C.

Hãy để chúng tôi đánh giá tích phân tương tự ở dạng xác định, tức là, bao gồm các giới hạn trên và dưới.

Về mặt đồ họa, chúng tôi hiện đang tính toán khu vực dưới đường cong f (x) = y³ giữa y = 2 và y = 3.

Bước đầu tiên trong đánh giá này cũng giống như đánh giá tích phân không xác định. Sự khác biệt duy nhất là khoảng thời gian này chúng ta không thêm hằng số C.

Biểu thức trong trường hợp này trông như sau:

Đây là lần lượt dẫn đến:

Về cơ bản, chúng tôi thay thế 3 và sau đó 2 trong biểu thức và thu được sự khác biệt giữa chúng.

Đây là giá trị xác định trái ngược với việc sử dụng hằng số C sớm hơn.

Hãy khám phá yếu tố không đổi (liên quan đến tích phân không xác định) một số chi tiết hơn.

Nếu sự khác biệt của y³ Là 3y², sau đó

∫3y²dy = y³

Tuy nhiên, 3y² có thể là sự khác biệt của nhiều biểu thức trong đó bao gồm y³-5, y³+7, v.v ... Điều này ngụ ý rằng sự đảo ngược không phải là duy nhất vì hằng số không được tính trong quá trình vận hành.

Vì vậy, nói chung, 3y² là sự khác biệt của y³+C Ở đâu C là bất kỳ hằng số. Ngẫu nhiên, C được gọi là 'hằng số tích hợp'.

Chúng tôi viết điều này là:

∫ 3y².dx = y³ + C

Các kỹ thuật tích hợp cho một tích phân không xác định, chẳng hạn như tra cứu bảng hoặc tích hợp Risch, có thể thêm các điểm gián đoạn mới trong quá trình tích hợp. Những điểm không liên tục mới này xuất hiện do các chất chống dẫn xuất có thể yêu cầu đưa vào các logarit phức tạp.

Các logarit phức có gián đoạn bước nhảy khi đối số đi qua trục thực âm và các thuật toán tích hợp đôi khi không thể tìm thấy biểu diễn trong đó các bước nhảy này bị hủy.

Nếu tích phân xác định được đánh giá bằng cách tính toán một tích phân không xác định trước và sau đó thay thế các ranh giới tích hợp vào kết quả, chúng ta phải lưu ý rằng tích hợp không xác định có thể tạo ra sự gián đoạn. Ngoài ra, nếu có, chúng tôi phải điều tra sự không liên tục trong khoảng thời gian tích hợp.